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  • 常微分方程[平装]
  • 共2个商家     19.60元~22.40
  • 作者:陈启宏(合著者),张晓梅(编者),张振宇(编者),迟东璇(编者)
  • 出版社:复旦大学出版社;第1版(2010年8月1日)
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  • ISBN:9787309074444

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    编辑推荐

    《常微分方程》:21世纪高等学校经济数学教材。

    目录

    第一章 绪论
    1.1 微分方程模型
    习题1.1
    1.2 常微分方程的基本概念
    习题1.2

    第二章 初等积分法
    2.1 分离变量法
    习题2.1
    2.2 变量替换法
    2.2.1 齐次方程
    2.2.2 可化为齐次的方程
    2.2.3 一阶线性方程
    2.2.4 Bernoulli方程
    2.2.5 Riccati方程
    习题2.2
    2.3 积分因子法?
    2.3.1 全微分方程的定义与判别条件
    2.3.2 全微分方程的求解
    2.3.3 积分因子
    习题2.3
    2.4 参数法
    2.4.1 可解出y或x的隐式方程
    2.4.2 不显含y或x的隐式方程
    习题2.4
    2.5 应用实例
    2.5.1 商品市场价格与需求量(供给量)的关系
    2.5.2 预测可再生资源的产量,预测商品的销售量
    2.5.3 成本分析
    2.5.4 关于国民收入、储蓄与投资的关系问题
    习题2.5

    第三章 一阶常微分方程解的存在唯一性
    3.1 Picard存在唯一性定理
    3.1.1 一阶显式微分方程
    3.1.2 一阶隐式方程
    习题3.1
    3.2 不动点定理与解的存在性
    习题3.2
    3.3 解的延拓
    习题3.3
    3.4 解对初值与参数的连续性与可微性
    3.4.1 Gronwall不等式
    3.4.2 解对初值和参数的连续性
    3.4.3 解对初值和参数的连续可微性
    习题3.4
    3.5 常微分方程的特征值问题
    3.5..1 Sturm-Liouville问题
    3.5.2 Sturm-Liouville问题解的性质
    习题3.5

    第四章 高阶微分方程
    4.1 高阶微分方程的降阶法
    4.1.1 不显含未知函数x的方程
    4.1.2 不显含自变量t的方程
    习题4.1
    4.2 高阶线性微分方程的一般理论
    4.2.1 初值问题解的存在唯一性定理
    4.2.2 齐次线性方程解空间的结构
    4.2.3 非齐次线性方程解集合的性质
    习题4.2
    4.3 常系数齐次线性方程的待定指数函数法
    4.3.1 复值函数与复值解
    4.3.2 常系数齐次线性方程的待定指数函数法
    4.3.3 Euler方程
    习题4.3
    4.4 常系数非齐次线性方程的待定系数法
    习题4.4
    4.5 应用实例
    习题4.5

    第五章 一阶线性微分方程组
    5.1 一阶线性微分方程组的一般理论
    5.1.1 一阶线性微分方程组的基本概念
    5.1.2 一阶线性微分方程组与高阶线性微分方程的关系
    5.1.3 存在唯一性定理
    5.1.4 一阶齐次线性微分方程组解空间的结构
    5.1.5 一阶齐次线性微分方程组的基解矩阵的性质
    5.1.6 一阶非齐次线性微分方程组解集合的性质
    习题5.1
    5.2 一阶常系数线性微分方程组
    5.2.1 矩阵指数函数exp(At)
    5.2.2 常系数齐次线性微分方程组的解法
    5.2.3 常系数非齐次线性微分方程组的常数变易公式
    习题5.2
    5.3 应用实例
    习题5.3

    第六章 稳定性理论简介
    6.1 稳定性概念
    6.1.1 稳定性定义
    6.1.2 稳定性的线性近似判定
    习题6.1
    6.2.1 Lyapunov函数判别法
    6.2.1 常正(负)函数与定正(负)函数
    6.2.2 自治系统稳定性的Lyapunov判别法
    6.2.3 自治系统不稳定性的Lyapunov判别法
    习题6.2
    6.3 应用实例

    第七章 一阶线性偏微分方程
    7.1 基本概念
    7.2 一阶线性偏微分方程的求解
    7.2.1 首次积分
    7.2.2 常微分方程组与一阶线性偏微分方程
    7.2.3 利用首次积分求解常微分方程组
    7.2.4 一阶齐次线性偏微分方程的求解
    7.2.5 一阶拟线性偏微分方程的求解
    习题7.2
    7.3 Cauchy问题
    7.3.1 一阶线性(拟线性)偏微分方程求解的几何解释
    7.3.2 Cauchy问题
    习题7.3

    第八章 差分方程
    8.1 差分和差分方程的概念
    8.1.1 差分的定义
    8.1.2 差分的性质和运算法则
    8.1.3 差分方程的概念
    习题.
    8.2 常系数差分方程解的结构
    8.3 差分方程模型
    8.3.1 一般蛛网模型
    8.3.2 模型(国民收入分析模型)
    8.4 常系数线性差分方程的求解
    8.4.1 一阶常系数线性差分方程
    8.4.2 二阶常系数线性差分方程
    习题8.4
    习题参考答案及提示
    参考文献

    序言

    常微分方程是高等院校数学类专业的一门应用性较强的基础课,对训练学生的逻辑思维能力、计算推导能力、分析与解决实际问题的能力有着极其重要的作用。
    本书是“21世纪高等学校经济数学教材”丛书之一。全书共分8章,依次介绍了常微分方程的基本概念、初等积分法、解的存在唯一性定理、线性微分方程与方程组的一般理论和求解方法、微分方程的稳定性理论、一阶线性偏微分方程及差分方程等内容。
    本书的主要特点为:
    (1)注重思想方法的梳理。在阐述各种微分方程(组)的解法时,遵循研究的意义、求解的方法和实际的应用这种分析思路,强调基本方法的科学性、系统性,力求结构完整、叙述清晰、深入浅出。
    (2)注重微分方程的实际应用,体现财经类专业的教育特色。选用了很多微分方程在经济、社会、生态、金融领域中的应用实例,目的是对学生加强应用意识的培养,提高学生提出、解决实际问题的能力。
    (3)注重基本理论的拓展。在第三章中,在原有经典证明方法的基础上,又介绍了利用不动点原理证明一阶方程初值问题解的存在唯一性的方法,并讨论了边值问题解的存在唯一性条件。通过拓展这些理论,希望对学生开阔思路有所帮助。
    (4)注重例题、习题的多样性。本书的例题、习题可分3类。第一类是帮助读者理解基本概念、验证基本理论、掌握基本方法的基本题;第二类是要求读者在深入理解各种方程(组)的求解方法和基本理论的基础上,灵活运用所学知识、需要一定技巧的提高题;第三类是具有丰富实际背景的应用题。全书的计算题在书末都给出了相应的答案或提示。

    文摘

    插图:



    这就是一个简化了的传染病传播的数学模型。如果能够求出满足该方程的函数,那么我们就可以初步了解传染病传播的形式,以及随时间的变化趋势,这对于防治传染病是有益处的。
    从以上几个例子,我们大致了解了怎样从一个实际问题导出数学模型,即建立微分方程的过程。求解相应的微分方程(组),就可以用得到的结果去解释实际现象,或对实际问题的发展变化趋势进行判断。但一般来说,建立准确描述实际问题的微分方程(组)的过程是比较复杂和困难的,需要具备相关学科的丰富知识以及深厚的数学基础知识,如数学建模知识、普通物理学知识等,这超出了本课程的教学范畴,需要另外学习专门的课程。
    微分方程一般可分为常微分方程和偏微分方程两类。本课程将重点讨论常。微分方程,学习其基本理论和求解方法,为今后在生产、生活中解决一些实际问题打下必要的数学基础,这也正是我们开设这门课的目的所在。
    习题1.1
    1.设某曲线,它上面的任何一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积总等于2,试建立这条曲线所满足的数学模型。
    2.一曲线通过点(1,2),且该曲线上任意点P(x,y)处的切线斜率等于该点的横坐标平方的3倍,试建立这条曲线所满足的数学模型。
    3.一个质量为优的质点在水中由静止开始下沉,设下沉时水的阻力与速度成正比。试建立质点运动规律所满足的数学模型。