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  • 斯坦因豪斯问题:从1道25省市自治区中学数学竞赛试题谈起[平装]
  • 共3个商家     12.78元~14.70
  • 作者:刘培杰(作者),田廷彥(作者)
  • 出版社:哈尔滨工业大学出版社;第1版(2012年7月1日)
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  • ISBN:9787560336329

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    编辑推荐

    《斯坦因豪斯问题:从1道25省市自治区中学数学竞赛试题谈起》适合大、中学师生及数学爱好者阅读及收藏。

    目录

    第1章斯坦因豪斯问题简介∥1
    1命题的产生∥1
    2试题的另解与推广∥10
    3试题解法的探究∥16
    4台球与光线的数学秘密∥21
    第2章保守系统中的弹子球流∥32
    1多边形弹子球∥32
    2弹子球:定义和例子∥34
    3凸弹子球∥45
    第3章变分法、扭转映射和闭测地线∥60
    1变分法和弹子球的伯克霍夫周期轨∥60
    2扭转映射的伯克霍夫周期轨和奥布瑞—马瑟理论∥65
    3不变圆周和不稳定区域∥82
    附录长方形台球桌的问题∥88
    编辑手记∥97

    文摘

    版权页:



    插图:



    保序集中的任何一个轨道都是保序轨,奥布瑞—马瑟集的投射的余集是圆周上可数个区间的并,称这些区间为奥布瑞—马瑟集的间隙。每一区间端点是奥布瑞—马瑟集中的点的投射,也称它们为端点,由引理1的推论立即有下面的推论。
    推论 设φ:C→C是一个扭转微分同胚,A是φ的一个奥布瑞一马瑟集,那么存在一个李普希茨连续函数φ:S1→(—1,1),它的图象包含A。
    证明 引理1的推论给出了定义在A到S1的投影上的一个函数,将其在康托集的间隙线性地延拓,就给出了具有同一李普希茨常数的函数。
    定义奥布瑞—马瑟集或不变圆周的旋转数为它的任何轨道的旋转数,就像前文中所定义的那样,现在可以证明扭转映射理论中的一个中心结果。
    定理2 设φ:C→C是一个保面积可微扭转映射,对来自于φ的扭转区间的任何无理数α,存在一个具有旋转数α的奥布瑞—马瑟集A或者一个具有旋转数α不变圆周graph(φ),此处的φ是一个李普希茨函数。
    证明设pn/qn是逼近α的由最简分式给出的有理数序列,应用定理1,并任取(Pn,qn)型伯克霍夫周期轨Wn,根据引理1的推论,可以构造一个李普希茨函数φn:S1→(—1,1),它的图象包含Wn。由得到式(2)的类似讨论,我们发现,所有这样的轨道都包含在C的一个闭圆环里,因此李普希茨常数的选取可以不依赖于n。利用这一等度连续函数族的准紧性(Arzela—Ascoli定理),不失一般性,可以假设这些函数收敛到一个李普希茨函数φ,φ的图象不一定是φ不变的,但是它总可以包含一个按如下方法得到的闭的φ不变集A,φn的定义域包含着(pn,qn)型伯克霍夫周期轨到S1的投影。这些(Pn,qn)型伯克霍夫周期轨是C中闭的咖不变子集,因此在豪斯道夫(Hausdorff)度量拓扑下,它们有一个聚点AC。集合A明显地属于φ的图象,它是咖不变的,并且φ保持A的循环顺序(因为这对伯克霍夫周期轨Wn是成立的,并且这是一个闭性质)。如果记φn为φ的从(Pn,qn)型伯克霍夫周期轨到S1的投射在S1中的延拓,φα为φ|A到S1的投射的延拓,那么一致地有φn→φα。因此,由旋转数在C0拓扑下的连续性,A的旋转数是α。现在考虑φα的极小集。由二分性,它或者是整个圆周,或者是一个不变康托集。在后一情形这一康托集在Id×φ下的象就是具有旋转数α的奥布瑞—马瑟集。
    注 定理2所得到的奥布瑞—马瑟集可以是φ的一个不变圆周的子集。然而,当映射和不变圆周都是C2的时候,映射在不变圆周的限制是圆周的一个C2微分同胚,同时由当儒瓦(Denjoy)定理可知它是拓扑传递的。因此,对于存在于不变圆周上的一个奥布瑞一马瑟集或者映射,或者圆周,或者它们两个同时不具有C2性质。Michael Herman发现了一个异常的构造,他设法使一个当儒瓦型非传递C2—ε(ε>0)圆周微分同胚的例子嵌入C3—ε保面积可微扭转映射,从而经由这一明显的构造得到了一个额外的导数。